När använder man sinus och cosinus

Pythagoras sats anger detta viktiga samt användbara sambandet mellan dem tre sidornas längder inom enstaka rätvinklig triangel.

Sinus, cosinus samt tangens förkortas sin, cos samt tan.

inom detta denna plats avsnittet bör oss undersöka rätvinkliga trianglar, dock denna gång bör oss hitta samband mellan längden vid triangelns sidor samt dess spetsiga vinklar.

De olika sidorna inom ett rätvinklig triangel benämns vid olika sätt inom relation mot vinkeln vilket oss studerar:

I den rätvinkliga triangeln denna plats ovan studera oss vinkeln \(v\) samt benämner dem olika sidorna inom relation mot denna vinkel.

dem numeriskt värde sidorna liksom träffas inom enstaka \(90°\) vinkel kallas liksom vän på grund av kateter samt den längre sidan liksom ligger mittemot den räta vinkeln kallas på grund av hypotenusa. Den katet vilket ligger närmast vinkeln \(v\), kallas något som ligger nära eller är i närheten katet samt den katet likt ligger mittemot vinkeln \(v\), kallas till motstående katet. Detta existerar benämningar oss kommer för att nyttja många framöver.

Trigonometriska funktioner

Sinus, cosinus samt tangens existerar trigonometriska funktioner liksom anger förhållandet mellan längderna vid enstaka rätvinklig triangels sidor.

Ett sätt för att förstå dessa trigonometriska funktioner existerar för att detta på grund av ett viss vinkel \(v\) grader ständigt råder en visst förhållande mellan den rätvinkliga triangelns sidor - detta existerar detta förhållande man får ut då man kalkylerar sinus \(v\), cosinus \(v\) samt tangens \(v\), dock vilka sidor förhållandet gäller på grund av skiljer sig åt mellan dem olika trigonometriska funktionerna:

$$\sin v=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ hypotenusa }}$$

$$\cos v=\frac{\it\text{ närliggande katet }}{\it\text{ hypotenusa }}$$

$$\tan v=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ något som ligger nära eller är i närheten katet }}$$

För varenda vinkel \(v\) finns alltså en särskilt värde vid sinus, cosinus samt tangens.

Detta värde anger alltså kvoten mellan numeriskt värde från längderna vid triangelns sidor - vilka numeriskt värde sidor detta rör sig angående, detta beror vid vilken från dem tre trigonometriska funktionerna oss använder, i enlighet med formlerna ovan. Exempelvis förmå oss beräkna samtliga förhållanden på grund av triangeln nedan:

Här gäller detta att:

$$\sin(53,1^\circ)=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ hypotenusa }}=\frac{4}{5}$$

$$\cos(53,1^\circ)=\frac{\it\text{ närliggande katet }}{\it\text{ hypotenusa }}=\frac{3}{5}$$

$$\tan(53,1^\circ)=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ något som ligger nära eller är i närheten katet }}=\frac{4}{3}$$

Sinus, cosinus samt tangens existerar tillsammans med andra mening bara olika namn till dem kvoter liksom man kunna ställa upp mellan ett rätvinklig triangels sidor.

Låt oss försöka förstå oss vid hur varenda vinkel v ger en särskilt värde vid sinus, cosinus samt tangens.

Sinus- samt cosinusfunktionerna.

inom bilden nedan besitter oss ritat tre trianglar liksom samtliga besitter identisk form eller gestalt, dvs. existerar likformiga. oss äger bara förstorat den ursprungliga triangeln inom varenda steg – inledningsvis fördubblat den samt sedan tillsammans ett faktor \(3\).

Låt oss nedteckna upp enstaka värdetabell till \(\sin v\), \(\cos v\) samt \(\tan v\) på grund av respektive triangel.

Minns definitionerna ifrån innan:

Trigonometrisk funktion	Triangel 1	Triangel 2	Triangel 3
\(\sin(53,1^\circ)\)	\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)	\(\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\)
\(\cos(53,1^\circ)\)	\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)	\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
\(\tan(53,1^\circ)\)	\(\frac{4}{3}\)	\(\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)	\(\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)

Vad till samband verkar detta finnas mellan värdena till sinus, cosinus samt tangens inom respektive fall?

Det ser ut likt för att värdena existerar desamma, oberoende från storleken vid triangeln.

tillsammans andra mening existerar dem trigonometriska funktionernas värden enbart beroende från vinkeln inom sig. dem trigonometriska funktionerna är kapabel ses liksom namn vid dem förhållanden vilket ställs upp mellan enstaka rätvinklig triangels sidor. varenda likformiga, rätvinkliga trianglar äger då identisk förhållande mellan sina sidor; identisk sinus, cosinus samt tangens.

Sinus, cosinus samt tangens existerar trigonometriska funktioner liksom anger förhållandet mellan längderna vid ett rätvinklig triangels sidor.

Allt såsom skiljer dem åt existerar storleken vid sidorna.

Dessa trigonometriska funktioner förmå oss nyttja på grund av för att ta reda vid den okända längden vid enstaka från enstaka rätvinklig triangels sidor, ifall oss känner mot längden vid ett från dem andra sidorna samt storleken vid enstaka från triangelns vassa vinklar. eftersom rätvinkliga trianglar tillsammans med identisk vinkel existerar likformiga räcker detta tillsammans för att känna till denna vinkel samt storleken vid enstaka från sidorna till för att avgöra den okända längden.

Beräkna enstaka sidas okända längd

Säg för att oss besitter ett rätvinklig triangel tillsammans med ett känd vinkel vid \(48°\), enstaka hypotenusa tillsammans längden \(5,9\) cm samt oss önskar beräkna kateternas längder.
Till för att börja tillsammans med bör oss rita upp ett figur, således för att oss får sammanfattning ovan triangelns sidor samt vinklar, samt på det sättet reducerar risken till för att oss bör resonera fel:

Utifrån den kända vinkeln existerar sidan b den något som ligger nära eller är i närheten kateten.

eftersom oss känner mot längden vid hypotenusan, sålunda använder oss oss från cosinus-funktionen till för att besluta längden vid sidan b.

$$\cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\cdot 5,9$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=b$$

En miniräknare är kapabel vid en ungefär beräkna \(\cos(48 ̊)\). detta existerar dock viktigt för att ständigt äga enstaka foto från vad detta existerar man utför.

tillsammans med enstaka miniräknare får oss att:

$$5,9\cdot \cos 48^\circ \approx5,9\cdot 0,6691$$

vilket ger:

$$b\approx3,948\,\text{cm}$$

Tänk egen vid angående detta även ägde gått för att nyttja sinusfunktionen på grund av för att avgöra sidan b.

Utifrån vår figur ser oss för att sidan a existerar motstående katet, sålunda oss använder oss från sinus-funktionen på grund av för att hitta längden vid sidan a (i detta denna plats läget ägde oss även kunnat nyttja oss från tangens-funktion, eftersom oss för tillfället känner mot längden vid den något som ligger nära eller är i närheten kateten):

$$\sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}$$

$$a=5,9\cdot \sin 48^\circ$$

$$a\approx5,9\cdot 0,7431$$

$$a\approx4,385\,\text{cm}$$

Längderna vid dem okända sidorna fanns alltså ungefär \(4,4\) cm (sidan \(a\)) samt \(3,9\) cm (sidan \(b\)).

Beräkna ett okänd vinkel

Frågan existerar ifall oss, självklart ett viss kvot, kunna beräkna vilken vinkel detta existerar liksom spänns upp från triangeln.

ifall oss exempelvis vet för att \(\cos(v)=\normalsize{\frac{4}{5}}\), förmå oss då känna till vad vinkeln är?

För för att hantera denna fråga introducerar oss detta inversa värdet mot sinus, cosinus samt tangens. Inversen mot sinus, cosinus samt tangens existerar storleken vid vinkeln \(v\) samt skrivs antingen vilket arcsin, arccos samt arctan alternativt vid din miniräknare alternativt andra digitala redskap för hjälp skrivs detta liksom \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) samt \(\tan^{-1}\).

enstaka nödvändig sak för att notera existerar för att \(\sin^{-1}\) inte existerar identisk sak vilket \(\normalsize{\frac{1}{\sin}}\).

Här lär ni dig förstå grunderna inom trigonometri samt begreppen sinus, cosinus samt tangens.

Dessa inversa trigonometriska funktioner kunna oss alltså nyttja till för att ta reda vid hur massiv ett från dem vassa vinklarna inom enstaka rätvinklig triangel existerar, ifall oss känner mot längden vid minimalt numeriskt värde från triangelns sidor alternativt mer konkret, deras förhållande.

Förenklat är kapabel oss yttra för att inversa funktioner utför motsatsen mot vad den vanliga funktioner fullfölja.

ifall \(\tan x\) omvandlar ett vinkel mot enstaka kvot därför tar arctan ett kvot samt returnerar den korresponderande vinkeln.

De trigonometriska funktionerna sin, cos samt tan, liksom dem inversa trigonometriska funktionerna arcsin, arccos samt arctan, finns samtliga förprogrammerade inom vanliga grafritande miniräknare. Ofta kallas arcsin var \(\sin^{-1}\), samt analogt på grund av cos samt tan.

dock till för att behärska nyttja dem vid en utmärkt sätt behöver man känna till vilket dem betyder samt hur man bör utföra till för att man bör erhålla ut korrekt resultat.

Låt oss titta vid en exempel

Beräkna vinkeln mellan hypotenusan samt sidan liksom existerar \(4\) måttenheter utdragen inom nästa rätvinkliga triangel:

Vi börjar tillsammans med för att känna igen vinkeln likt avses inom texten: detta existerar den vassa vinkeln mot motsats till vänster inom triangeln.

Trigonometri studera förhållandet mellan vinklar samt sidor inom enstaka triangel.

Detta innebär för att sidan likt existerar \(4\) måttenheter utdragen existerar den något som ligger nära eller är i närheten kateten samt sidan såsom existerar \(3\) måttenheter utdragen existerar den motstående kateten.

Vi provar inledningsvis för att räkna ut vinkeln v tillsammans med hjälp från cosinus-funktionen.

oss fyller år inom dem värden oss känner mot inom formeln till cosinus:

$$\cos v=\frac{närliggande}{hypotenusa}$$

$$\cos v=\frac{4}{5}$$

För för att åtgärda ut vinkeln v sålunda använder oss den inversa funktionen (arccos):

$$v=\cos^{-1}\, \left ( \frac{4}{5} \right ) \approx 36,87 ^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars cosinus värde existerar 4/5, existerar ungefär lika tillsammans med 36,87 grader.

Nu provar oss för att utföra identisk sak tillsammans hjälp från sinus-funktionen.

oss fyller år inom våra kända värden inom formeln till sinus

$$\sin v=\frac{motstående}{hypotenusa}$$

$$\sin v=\frac{3}{5}$$

och därför löser oss ut vinkeln v genom den inversa funktionen (arcsin):

$$v=\sin^{-1}\, \left ( \frac{3}{5} \right )\approx 36,87^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars sinus värde existerar 3/5, existerar ungefär lika tillsammans med 36,87 grader.

Till slutligen provar oss för att utföra identisk sak tillsammans hjälp från tangens-funktionen:

$$\tan v=\frac{motstående}{närliggande}$$

$$\tan v=\frac{3}{4}$$

Vi löser ut vinkeln v genom för att nyttja oss från den inversa funktionen (arctan) samt får:

$$v=\tan^{-1}\,\left ( \frac{3}{4} \right ) \approx 36,87^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars tangens värde existerar 3/4, existerar ungefär lika tillsammans med 36,87 grader.

Som oss är kapabel titta får oss fram identisk värde vid vinkeln v oavsett vilken från dem tre trigonometriska funktionerna oss väljer för att nyttja, vilket existerar helt inom sin ordning.