Vektor som är vinkelrät mot

Vektorer existerar matematiskastorheter liksom besitter både storlek (magnitud) samt riktning.

För för att förklara en program behöver man ett punkt inom planet samt ett normalvektor (dvs ett vektor vilket existerar vinkelrät mot planet).

dem används därför ofta på grund av för att förklara fysikaliska storheter tillsammans med magnitud samt riktning inom rummet, liksom mot modell kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält samt område runt en magnet där magnetiska krafter verkar. liknande vektorer kallas även rumsvektorer alternativt geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även inom numeriskt värde dimensioner.

inom motsats mot vektorstorheter existerar storheter vilket temperatur samt ljusstyrkaskalärer då dem saknar riktning.

Inom matematiken generaliseras vektorer mot för att existera element inom en vektorrum från godtycklig dimension.

Om existerar vektorerna vinkelräta mot varann.

ett sådan generaliserad vektor förmå äga enstaka norm såsom anknyter mot längdbegreppet. på grund av vektorrummet är kapabel enstaka inre vara existera definierad vilken är kapabel sägas mäta vinklar mellan vektorerna. tillsammans med denna definition är kapabel flera typer från objekt anses existera vektorer. detta enda kravet existerar för att dem följer dem viktigaste från dem räkneregler såsom gäller på grund av rumsvektorer.

Historik

[redigera | redigera wikitext]

Vektorbegreppet, såsom oss känner detta idag, utvecklades successiv ovan enstaka period från mer än 200 tid.

Vektorerna kallas likt ovan u samt v, samt existerar betecknade tillsammans ett azurblå respektive skarlakansröd pil.

Omkring en dussin personer gjorde signifikanta bidrag. ^[1]

Giusto Bellavitis abstraherade den elementär idén 1835 då denne etablerade begreppet ekvipollens. han studerade detta euklidiska planet samt definierade vilket ekvipollenta (likvärdiga) varenda par från linjesegment från identisk längd samt riktning. Väsentligen upptäckte denne enstaka ekvipollensrelation på grund av paren från punkter (tvåpunkter) inom planet samt skapade därmed detta inledande vektorrummet inom planet.^[1]:52–4

Termen vektor introducerades från William Rowan Hamilton såsom ett sektion från enstaka kvaternion, vilken existerar enstaka summa q = s + v från en reellt tals (också kallat skalär) samt ett 3-dimensionell vektorv.

Liksom Bellavitis, betraktade Hamilton vektorer såsom enstaka representation från klasser från ekvipollent riktade linjesegment. inom jämförelse tillsammans med komplexa anförande, likt använder enstaka imaginär sektion till för att komplettera den reella tallinjen, betraktade Hamilton vektordelen v likt den imaginära delen från ett kvaternion.^[2]

Flera andra matematiker utvecklade vektorliknande struktur beneath 1800-talets mitt, däribland Augustin Louis Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte dem Saint-Venant samt Matthew O'Brien .

Grassmanns jobb ifrån 1840 Theorie der Ebbe und Flut fanns detta inledande systemet från rumslig undersökning såsom liknade dagens struktur samt presenterade idéer liksom motsvarar kryssprodukt, matematisk produkt samt vektordifferentiering. Grassmanns sysselsättning uppmärksammades inledningsvis inom slutet från 1870-talet.^[1]

Peter Guthrie Tait fortsatte för att jobba tillsammans med kvaternioner efter Hamilton.

Hans Elementary Treatise of Quaternions ifrån 1870 inkluderade enstaka utförlig behandling från nablaoperatorn ∇.

Vinklar mellan vektorer.

1878 publicerades Elements of Dynamic från William Kingdon Clifford, en verk såsom förenklade studiet från kvaternionen genom för att isolera skalärprodukten samt kryssprodukten från numeriskt värde vektorer ifrån den kompletta kvaternionprodukten, vilket gjorde vektorberäkningar tillgängliga på grund av ingenjörer samt andra vilket arbetade inom tre dimensioner samt fanns skeptiska mot den fjärde.

Josiah Willard Gibbs, likt stötte vid kvaternioner genom James Clerk MaxwellsTreatise on Electricity and Magnetism, skilde från deras vektordel till ett oberoende behandling. Den inledande halvan från Gibbs Elements of Vector Analysis, publicerad 1881, presenterade vilket liksom väsentligen existerar detta moderna systemet till vektoranalys.^[1] 1901 publicerade namn Bidwell WilsonVector Analysis, vilket inom huvudsak plats tillämpningar hämtade ifrån Gibbs föreläsningar samt såsom övergav allt omnämnande från kvaternioner.

Vektorbeteckningar

[redigera | redigera wikitext]

Ett vektornamn skrivs vanligen tillsammans fet stil, mot modell liksom

I vissa fall är kapabel även notationen

förekomma var A existerar vektorns startpunkt samt B dess ändpunkt.

Andra vanliga notationer existerar

där enstaka pil alternativt "hatt" placerats ovanför namnet.

Representation från vektorer

[redigera | redigera wikitext]

En vektor existerar ej bunden mot ett position samt detta existerar därför tillåtet för att förlägga enstaka vektors startpunkt inom origo inom detta aktuella koordinatsystemet; enstaka överenskommelse liksom ger enstaka kompakt koordinatlista.

Vektorer inom en n-dimensionellt boende ℝⁿ förmå då representeras från enstaka inventering tillsammans med koordinaterna till vektorernas ändpunkter i enlighet med

Talen inom listan kallas även vektorns komponenter. inom enlighet tillsammans figuren mot motsats till vänster är kapabel den 2-dimensionella vektorn ifrån O = (0, 0) mot A = (2, 3) tecknas såsom

En vektor är kapabel även beskrivas genom för att koordinatlistor anges på grund av både start- samt ändpunkter.

Vektorer existerar matematiska storheter vilket äger både storlek (magnitud) samt riktning.

I ℝ³ identifieras vektorer tillsammans tripplar från koordinater:

eller

Ibland arrangeras dessa tripplar mot kolonnvektorer alternativt radvektorer, särskilt inom samband tillsammans med hantering från matriser:

Ett annat sätt för att företräda vektorer existerar för att presentera standardbasvektorer, vilket inom detta 3d fallet kräver tre vektorer.

Standardbasvektorerna äger längden 1 samt riktningar likt sammanträffar tillsammans riktningarna till koordinatsystemets (kartesiskt) tre axlar:

Med hjälp från standardbasvektorerna är kapabel varenda vektor tecknas likt

I elementära läroböcker inom fysik betecknas ofta basvektorerna tillsammans (eller , var ^ vanligtvis betecknar enhetsvektorn).

inom detta fall betecknas vektorkoordinaterna i enlighet med a_x, a_y, a_z, samt a_x, a_y, a_z. Således,

För vektorer är kapabel basbyten utföras samt nya vektorer förmå användas såsom bas.

I en vinkelrätt vektorrum, detta önskar yttra var koordinataxlarna existerar vinkelräta mot varandra, beräknar oss ut normen från enstaka vektor \(\vec{a}\) tillsammans hjälp från Pythagoras sats: $$||\vec{a}||=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}$$ Normen från ett vektor existerar ständigt en reellt tal.

enstaka vektor är kapabel transformeras mot för att representeras inom vilken vilket helst från dessa nya baser.

Egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Identiska vektorer

[redigera | redigera wikitext]

Två vektorer existerar identiska ifall vektorerna besitter identisk storlek samt riktning.

dem numeriskt värde vektorerna

och

är identiska angående samt endast om

Addition samt subtraktion

[redigera | redigera wikitext]

Summan från numeriskt värde vektorer

är

Den resulterande vektorns komponenter existerar dem komponentvisa summorna från vektorernas komponenter vilket är kapabel generaliseras mot samtliga dimensioner.

Differensen mellan a samt b existerar

Subtraktionen a - b förmå tolkas såsom additionen a + -b.

Skalär multiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Om enstaka vektor multipliceras tillsammans en reellt anförande r (en skalär) ändras vektorns längd (skalning från vektorn):

Om r existerar negativ kastas vektorns riktning angående, detta önskar yttra, vektorn roteras 180°.

Skalär multiplikation existerar distributiv ovan vektoraddition

r(a + b) = ra + rb

för varenda vektorer a samt b samt samtliga skalärer r.

Längd

[redigera | redigera wikitext]

Längden alternativt magnituden alternativt normen från vektorn a betecknas ||a||.

En vektor vilket existerar vinkelrät mot en annat objekt kallas normalvektor mot objektet.

Längden från vektorn a kunna inom en vektorrum tillsammans med euklidisk norm beräknas tillsammans Pytagoras sats i enlighet med

då koordinataxlarna existerar vinkelräta mot varandra inom detta vektorrum.

Normen existerar även lika tillsammans kvadratroten ur skalärprodukten (se nedan) från vektorn tillsammans med sig själv:

Vektorer tillsammans längden 1 kallas enhetsvektorer samt nollvektorn besitter längden noll.

Normalisering från enstaka vektor a = [a₁, a₂, a₃], sker genom för att vektorn multipliceras tillsammans detta reciproka värdet från vektorns längd, ||a||:

Skalärprodukt

[redigera | redigera wikitext]

Skalärprodukten från numeriskt värde vektorer a samt b (ibland kallad inre produkt) betecknas a ∙ b samt dess konsekvens existerar ett skalär (ett reellt anförande, på denna plats ett längd multiplicerad tillsammans med enstaka längd) samt existerar definierad likt

där θ existerar mätetalet på grund av vinkeln mellan a samt b.

Geometriskt innebär detta för att a samt b är kapabel antas dragna ifrån ett gemensam startpunkt samt längden från projektionen från a vid b existerar multiplicerad tillsammans med b:s längd.

Skalärprodukten är kapabel inom en ortonormerat koordinatsystem definieras såsom summan från dem komponentvisa produkterna i enlighet med

Skalär trippelprodukt

[redigera | redigera wikitext]

Skalära trippelprodukten definieras liksom skalärprodukten från enstaka vektor samt kryssprodukten (se nedan) från numeriskt värde andra vektorer:

Trippelprodukten förmå geometriskt tolkas vilket volymen från ett parallellipiped såsom spänns upp från dem tre vektorerna.

Trippelprodukten kunna beräknas i enlighet med

Om vektorerna inom kryssprodukten byter område negeras trippelprodukten:

Den skalära trippelprodukten förmå även tolkas såsom determinanten mot ett 3 × 3 matris vilket besitter tre vektorer vilket rader alternativt kolumner (transponering från enstaka matris ändrar ej determinantens värde):

Kryssprodukt

[redigera | redigera wikitext]

Kryssprodukten (också kallad vektorprodukt alternativt yttre produkt) existerar bara meningsfull inom tre alternativt sju dimensioner.

Kryssprodukten skiljer sig ifrån skalärprodukten genom för att resultatet existerar ett vektor. Kryssprodukten, betecknad a × b, existerar enstaka vektor vinkelrät mot både a samt b samt definieras såsom

där θ existerar mätetalet på grund av vinkeln mellan a samt b, samt n existerar ett enhetsvektor vinkelrät mot både a samt b såsom tillsammans tillsammans dessa bildar en högerorienterat struktur.

Längden från a × b förmå tolkas liksom arean från enstaka parallellogram liksom äger a samt b vilket sidor.

Kryssprodukten förmå inom en ortonormerat koordinatsystem även tecknas vilket

Kryssprodukten existerar antikommutativ:

Den existerar distributiv på grund av addition:

Kryssprodukten existerar relaterad mot skalärprodukten i enlighet med

Vektoriell trippelprodukt

[redigera | redigera wikitext]

Den vektoriella trippelprodukten existerar kryssprodukten från ett vektor samt kryssprodukten från numeriskt värde andra vektorer:

.

Då kryssprodukten existerar antikommutativ förmå detta även tecknas

En ytterligare användbar beskrivning existerar

Vektorprojektion

[redigera | redigera wikitext]

Projektionen från ett vektor a vid ett vektor b (en vektorkomponent inom b:s riktning) existerar den ortogonala projektionen från a vid enstaka rät linje parallell tillsammans med b samt definieras vilket

där existerar ett skalär, kallad den skalära projektionen från a vid b samt b̂ existerar enhetsvektorn inom b:s riktning.

Den skalära projektionen definieras inom sin tur såsom

där operatorn · betecknar matematisk produkt, |a| existerar den euklidiska normen från a samt θ existerar vinkeln mellan a samt b. Den skalära projektionen besitter identisk längd vilket vektorprojektionen.

Vektorkomponenten a₂ från a vinkelrät mot b existerar

När vinkeln θ existerar okänd förmå cosinus θ beräknas tillsammans med hjälp från a samt b samt definitionen från skalärprodukt:

Med hjälp från denna egenskap blir definitionen från den skalära projektionen

På liknande sätt blir definitionen från a:s vektorprojektion vid b

vilket existerar likvärdig tillsammans endera

eller^[3]